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提问时间:2020-05-23 21:32
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广义线性模型中, 联系函数(link function) 的作用是不是就是将不是正态分布的Y转换成正态分布?

题主对link function以及广义线性模型的理解有误。在generalized linear model中,link function 连接的是 linear predictor 与响应变量的期望 以下简要回顾广义线性模型:假设响应变量(Response Variable) 服从如下形式的分布: ~ 其中 被称为“正则参数”(canonical parameter), 被称为“分散参数”(dispersion parameter); 仅与 相关。应注意到正则参数是具体模型的自然参数的函数。这种形式的分布族也称作正则指数分布族(canonical exponential family)。这个家族的分布包括但不限于正态分布、指数分布、beta分布、gamma分布、泊松分布、二项分布(n为定值)、多项分布(n为定值)等。由似然估计原理(likelihood estimation),其对数似然函数可表示为: 由似然估计的一些理论,得出如下结论: ; ; i.e. ;; i.e. 其中 为 关于 的一阶偏导数, 为 关于 的二阶偏导数。其中函数 被称为“正则连接函数"(Canonical Link function)。广义线性模型,就是建立线性预测子(linear predictor) 与正则参数(canonical parameter) 的相等关系,也即: 由于 所以 也即广义线性回归旨在建立线性预测子(linear predictor) 与响应变量(Response Variable) 的期望在正则连接函数变换下的值的相等关系,即: 根据具体的分布函数,正则参数与正则连接函数有不同的表达形式。线性回归: 服从正态分布:~ 这里 进而 连接函数: 线性回归中的正则连接函数为就是 本身,也称之为”恒等连接函数“(identity link function): 2.泊松回归:假设 服从泊松分布: ~ : 进而 连接函数: 也称为“对数连接函数”(log link function):模型: 3. logistic回归:假设 服从二项分布: ~ 密度函数为:进而 link function: 模型: 实际数据分析时,大多统计数软件(SAS proc genmod,R glm package等)一般运用“迭代再加权最小二乘估计”(iterative re-weighted least square estimation, IRLS)的算法得到回归系数 的估计值。(注:以上公式中log即为ln).

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